Kompleksne derivacije su opisi brzina promjene složenih funkcija koje djeluju u poljima vrijednosti koja uključuju imaginarne brojeve. Oni govore matematičarima o ponašanju funkcija koje je teško vizualizirati. Derivat kompleksne funkcije f na x0, ako postoji, dan je granicom kako se x približava x0 od (f(x)-f(x0))/(x-x0).
Funkcije pridružuju vrijednosti u jednom polju s vrijednostima u drugom polju, što je radnja koja se zove preslikavanje. Kada jedno ili oba polja sadrže brojeve koji su dio polja kompleksnih brojeva, funkcija se naziva složena funkcija. Kompleksni derivati dolaze iz složenih funkcija, ali nema svaka složena funkcija složenu derivaciju.
Skupovi vrijednosti koje složena funkcija preslikava u i iz njih moraju uključivati kompleksne brojeve. To su vrijednosti koje se mogu predstaviti s a + bi, gdje su a i b realni brojevi, a i je kvadratni korijen negativnog jedan, što je imaginarni broj. Vrijednost b može biti nula, pa su svi realni brojevi također kompleksni brojevi.
Derivati su stope promjene funkcija. Općenito, derivacija je mjera jedinica promjene na jednoj osi za svaku jedinicu druge osi. Na primjer, vodoravna crta na dvodimenzionalnom grafu imala bi derivaciju od nule, jer se za svaku jedinicu x vrijednost y mijenja za nulu. Trenutačne izvedenice, koje se najčešće koriste, daju stopu promjene u jednoj točki na krivulji, a ne u rasponu. Ova derivacija je nagib ravne koja je tangenta na krivulju u željenoj točki.
Izvod, međutim, ne postoji svugdje na svakoj funkciji. Ako funkcija ima kut, na primjer, derivacija ne postoji u kutu. To je zato što je derivacija definirana ograničenjem, a ako derivacija skoči s jedne vrijednosti na drugu, onda granica ne postoji. Za funkciju koja ima derivacije kaže se da je diferencibilna. Jedan uvjet za diferencijabilnost u složenim funkcijama je da parcijalne derivacije, ili derivacije za svaku os, moraju postojati i biti kontinuirane u točki o kojoj je riječ.
Kompleksne funkcije koje imaju složene derivacije također moraju zadovoljiti uvjete koji se nazivaju Cauchy-Riemannove funkcije. Oni zahtijevaju da složeni derivati budu isti bez obzira na to kako je funkcija orijentirana. Ako su uvjeti specificirani funkcijama ispunjeni, a parcijalni derivati kontinuirani, tada je funkcija kompleksno diferencibilna.