Binomni koeficijenti definiraju broj kombinacija koje su moguće pri odabiru određenog broja ishoda iz skupa zadane veličine. Koriste se u binomskom teoremu, koji je metoda proširenja binoma – polinomske funkcije koja sadrži dva člana. Pascalov trokut, na primjer, sastavljen je samo od binomnih koeficijenata.
Matematički, binomni koeficijenti se zapisuju kao dva broja okomito poravnata unutar skupa zagrada. Najveći broj, predstavljen s “n”, ukupan je broj mogućnosti. Obično predstavljen s “r” ili “k”, donji broj je broj neuređenih ishoda koji se odabiru između “n”. Oba broja su pozitivna, a “n” je veće ili jednako “r”.
Binomni koeficijent, ili broj načina na koje se “r” može odabrati iz “n”, izračunava se korištenjem faktorijala. Faktorijal je broj puta sljedeći najmanji broj pomnožen sljedeći najmanji broj, i tako sve dok formula ne dosegne jedan. Matematički se predstavlja kao n! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Nulti faktorijel jednak je jedan.
Za binomni koeficijent, formula je n faktorijala (n!) podijeljen s umnoškom (n – r)! puta r!, koji se obično može smanjiti. Ako je n 5, a r 2, na primjer, formula je 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). U ovom slučaju, 3*2*1 je i u brojniku i u nazivniku, tako da se može poništiti iz razlomka. To rezultira (5*4)/(2*1), što je jednako 10.
Binomni teorem je način izračunavanja ekspanzije binomne funkcije, predstavljene s (a + b)^n — a plus b na n-ti stepen; a i b mogu se sastojati od varijabli, konstanti ili oboje. Za proširenje binoma, prvi član u proširenju je binomni koeficijent od n i 0 puta a^n. Drugi član je binomni koeficijent od n i 1 puta a^(n-1)b. Svaki sljedeći član proširenja izračunava se dodavanjem 1 donjem broju u binomskom koeficijentu, povećanjem a na stepen n minus taj broj i povećanjem b na stepen tog broja, nastavljajući sve dok donji broj koeficijenta ne bude jednak n.
Svaki broj u Pascalovom trokutu je binomni koeficijent koji se može izračunati pomoću formule za binomne koeficijente. Trokut počinje s 1 u gornjoj točki, a svaki broj u donjem redu može se izračunati zbrajanjem dva unosa dijagonalno iznad njega. Pascalov trokut ima nekoliko jedinstvenih matematičkih svojstava — osim binomnih koeficijenata, sadrži i Fibonaccijeve brojeve i figurativne brojeve.