Poincaréova hipoteka jedna je od najvažnijih pretpostavki u modernoj matematici, a trenutno je adekvatno demonstrirana do te mjere da se smatra punim teoremom. To je jedan od sedam problema Millennium Prize, koje je naveo Clay Mathematics Institute 2000. Do danas, to je jedini problem Milenijske nagrade koji je riješen, a njegovo rješenje smatra se jednim od najvažnijih otkrića novo tisućljeće.
Početkom 20. stoljeća, francuski matematičar Henri Poincaré počeo je postavljati ono što će poslužiti kao temelj za matematičko polje topologije. Jedan od njegovih glavnih fokusa bio je na svojstvima sfera, a on je potrošio veliku pažnju i energiju na ocrtavanje sfere. Postavio je niz pitanja, ali najpoznatije je bilo sročeno kao: “Razmotrimo kompaktni 3-dimenzionalni mnogostruk V bez granica. Je li moguće da bi temeljna skupina V mogla biti trivijalna, iako V nije homeomorfna 3-dimenzionalnoj sferi?” Iako nikada nije dao konkretnu izjavu na ovaj ili onaj način, to će postati poznato kao Poincaréova hipoteka.
Češći oblik Poincaréove hipoteke je jednostavan: svaki jednostavno povezan, zatvoren 3-mnogostruk je homeomorfan 3-sferi. Poincaréova hipoteka je također generalizirana na dimenzije iznad tri, oblika n-sfere. Iako se prvotno mislilo da će sama Poincaréova hipoteka biti istinita, smatralo se da će se generalizirana Poincaréova hipoteka pokazati lažnom. Stoga je bilo iznenađenje kada je generalizirana Poincaréova hipoteka dokazana za dimenzije veće od četiri 1961. godine, a zatim 1982. kada se pokazalo da je slučaj s 4 sfere istinit.
Richard Hamilton je 1982. pokazao da je Poincaréova hipoteka istinita u brojnim specijaliziranim slučajevima, ali je nije uspio dokazati općenito. Godine 2000. Clay Mathematics Institute uključio je Poincaréovu hipoteku u svoje probleme s tisućljetnom nagradom, nudeći nagradu od 1,000,000 američkih dolara (USD) za rješenje koje se pokazalo zadovoljavajućim. Godine 2002. i 2003. matematičar Grigori Perelman objavio je dva rada koji su dali skicu za dokaz Poincaréove hipoteke.
Godine 2006. brojne radne skupine popunile su male usputne praznine u Perelmanovu radu, a John Morgan i Gang Tian su to napisali kao detaljan dokaz. Na kraju su to proširili u knjigu o Poincaréovoj hipotezi, a 2006. Morgan je izjavio da je Perelman riješio problem 2003. Za svoj rad Perelman je nagrađen Fieldsovom medaljom, ali ju je odbio. Iako je tehnički riješio i Milenijsku nagradu, te stoga ispunjava uvjete za primanje milijun dolara, nije poduzeo korake potrebne za preuzimanje nagrade.
Na rješavanje Poincaréove hipoteke gledalo se kao na veliki napredak u matematici i kao jedan od važnijih dokaza novog tisućljeća. Krajem 2006. časopis Science proglasio je rješenje Poincaréove hipoteze znanstvenim probojom godine. Ovo je bio prvi put da je ta čast ikada dodijeljena proboju u čistoj matematici.