Teorija skupova čini većinu temelja moderne matematike, a formalizirana je kasnih 1800-ih. Teorija skupova opisuje neke vrlo temeljne i intuitivne ideje o tome kako se stvari zvane “elementi” ili “članovi” uklapaju u grupe. Unatoč prividnoj jednostavnosti ideja, teorija skupova je prilično rigorozna. Nastojeći eliminirati sve proizvoljnosti u svojim teorijama, matematičari su tijekom godina dotjerali teoriju skupova do impresivnog stupnja.
U teoriji skupova skup je svaka dobro definirana skupina elemenata ili članova. Skupovi su obično simbolizirani kurzivom velikim slovima poput A ili B. Ako dva skupa sadrže iste članove, mogu se prikazati kao ekvivalentni sa znakom jednakosti.
Sadržaj seta može se opisati jednostavnim engleskim: A = svi kopneni sisavci. Sadržaj se također može navesti u zagradama: A = {medvjedi, krave, svinje, itd.} Za velike skupove može se koristiti elipsa, gdje je uzorak skupa očit. Na primjer, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Jedna vrsta skupa ima nula članova, skup poznat kao prazan skup. Simbolizira ga nula s dijagonalnom linijom koja se penje slijeva nadesno. Iako naizgled trivijalan, ispada da je matematički prilično važan.
Neki skupovi sadrže druge skupove, stoga su označeni kao nadskupovi. Sadržani skupovi su podskupovi. U teoriji skupova, ovaj odnos se naziva “uključivanje” ili “zadržavanje”, što je simbolizirano zapisom koji izgleda kao slovo U zakrenuto za 90 stupnjeva udesno. Grafički se to može prikazati kao krug unutar drugog, većeg kruga.
Neki uobičajeni skupovi u teoriji skupova uključuju N, skup svih prirodnih brojeva; Z, skup svih cijelih brojeva; Q, skup svih racionalnih brojeva; R, skup svih realnih brojeva; i C, skup svih kompleksnih brojeva.
Kada se dva skupa preklapaju, ali niti jedan nije u potpunosti ugrađen u drugi, cijela stvar se naziva unija skupova. To je predstavljeno simbolom sličnim slovu U, ali nešto širi. U zapisu skupa, AUB znači “skup elemenata koji su članovi A ili B”. Okrenite ovaj simbol naopako i dobit ćete sjecište A i B, koji se odnosi na sve elemente koji su članovi oba skupa. U teoriji skupova skupovi se također mogu “oduzeti” jedan od drugog, što rezultira komplementima. Na primjer, B – A je ekvivalentan skupu elemenata koji su članovi B, ali nisu A.
Iz navedenih temelja proizlazi većina matematike. Gotovo svi matematički sustavi sadrže svojstva koja se mogu temeljno opisati u terminima teorije skupova.