Topologija je grana matematike koja se bavi proučavanjem površina ili apstraktnih prostora, gdje mjerljive veličine nisu važne. Zbog ovog jedinstvenog pristupa matematici, topologija se ponekad naziva geometrija gumenog lima, jer se zamišlja da oblici koji se razmatraju postoje na beskonačno rastezljivim gumenim listovima. U tipičnoj geometriji, temeljni oblici kao što su krug, kvadrat i pravokutnik su osnova za sve izračune, ali u topologiji je osnova kontinuiteta i položaja točaka jedna u odnosu na drugu.
Topološka karta može imati točke koje bi zajedno činile geometrijski oblik kao što je trokut. Ova zbirka točaka promatra se kao prostor koji ostaje nepromijenjen; međutim, bez obzira na to kako je uvijen ili rastegnut, kao točke na gumenom foliju, ostao bi nepromijenjen bez obzira u kojem obliku bio. Ova vrsta konceptualnog okvira za matematiku često se koristi u područjima gdje se često javljaju deformacije velikih ili malih razmjera, kao što su gravitacijski bunari u svemiru, analiza fizike čestica na subatomskoj razini i u proučavanju bioloških struktura kao što su promjena oblika proteina.
Geometrija topologije ne bavi se veličinom prostora, tako da površina kocke ima istu topologiju kao i ona sfere, budući da osoba može zamisliti da se ona uvija kako bi se pomaknula iz jednog oblika u drugi. Takvi oblici koji dijele identične značajke nazivaju se homeomorfnim. Primjer dvaju topoloških oblika koji nisu homeomorfni ili se ne mogu mijenjati tako da nalikuju jedan drugome su kugla i torus ili oblik krafne.
Otkrivanje temeljnih prostornih svojstava definiranih prostora primarni je cilj u topologiji. Topološka karta skupa osnovne razine naziva se skupom euklidskih prostora. Prostori su kategorizirani prema broju dimenzija, gdje je linija prostor u jednoj dimenziji, a ravnina prostor u dvije. Prostor koji ljudi doživljavaju naziva se trodimenzionalnim euklidskim prostorom. Složeniji skupovi prostora nazivaju se mnogostrukosti, koji se na lokalnoj razini razlikuju od onih u velikim razmjerima.
Mnogostruki skupovi i teorija čvorova pokušavaju objasniti površine u mnogim dimenzijama izvan onoga što je percipirano na doslovno ljudskoj razini, a prostori su povezani s algebarskim invarijantama kako bi ih klasificirali. Ovaj proces teorije homotopije, odnosno odnosa između identičnih topoloških prostora, pokrenuo je Henri Poincaré, francuski matematičar koji je živio od 1854. do 1912. Matematičari su dokazali Poincaréov rad u svim dimenzijama osim u tri, gdje potpune sheme klasifikacije za topologije ostaju nedostižne.