Bayesov teorem, koji se ponekad naziva Bayesovo pravilo ili princip inverzne vjerojatnosti, matematički je teorem koji vrlo brzo slijedi iz aksioma teorije vjerojatnosti. U praksi se koristi za izračunavanje ažurirane vjerojatnosti nekog ciljanog fenomena ili hipoteze H s obzirom na nove empirijske podatke X i neke pozadinske informacije ili prethodnu vjerojatnost.
Prethodna vjerojatnost neke hipoteze obično je predstavljena nekim postotkom između 0% i 100%, ili nekim brojem između 0 i 1. Ova vjerojatnost se često naziva stupnjem pouzdanosti, a trebala bi varirati od promatrača do promatrača, jer nisu svi promatrači imali su isto iskustvo i stoga ne mogu napraviti ekvivalentne procjene vjerojatnosti za bilo koju hipotezu. Primjena Bayesova teorema u znanstvenom kontekstu naziva se Bayesovo zaključivanje, što je kvantitativna formalizacija znanstvene metode. Omogućuje optimalnu reviziju teorijske distribucije vjerojatnosti s obzirom na eksperimentalne rezultate.
Bayesov teorem u kontekstu znanstvenog zaključivanja kaže sljedeće: “Nova vjerojatnost da je neka hipoteza H istinita (nazvana posteriorna vjerojatnost) s obzirom na novi dokaz X jednaka je vjerojatnosti da ćemo promatrati ovaj dokaz X s obzirom da je H zapravo istinit (naziva se uvjetna vjerojatnost ili vjerojatnost), puta prethodna vjerojatnost da je H istinit, sve podijeljeno s vjerojatnošću X.”
Uobičajeno ponavljanje gore navedenog u smislu kako rezultat testa doprinosi vjerojatnosti da određeni pacijent ima rak može se prikazati na sljedeći način:
p(pozitivan|rak)*p(rak)
_______________________________________________
p(pozitivno|rak)*p(rak) + p(pozitivno|~rak)*p(~rak)
Okomita traka znači “dano”. Vjerojatnost da pacijent ima rak nakon pozitivnog rezultata na određenom testu na rak jednaka je vjerojatnosti pozitivnog rezultata s obzirom na rak (izvedenu iz prošlih rezultata) puta prethodnoj vjerojatnosti da bilo koja osoba ima rak (relativno niska) sve podijeljeno s tim isti broj, plus vjerojatnost lažnog pozitivnog rezultata puta prethodnu vjerojatnost da nema raka.
Zvuči komplicirano, ali gornja se jednadžba može koristiti za određivanje ažurirane vjerojatnosti bilo koje hipoteze s obzirom na bilo koji eksperimentalni rezultat koji se može kvantificirati.