Koset je specifičan tip podskupa matematičke grupe. Na primjer, može se uzeti u obzir skup svih integralnih višekratnika od 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …}, koji se može označiti kao 7Z. Dodavanjem 3 svakom broju generira se skup {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, koji matematičari opisuju kao 7Z + 3. Ovaj posljednji skup naziva se koset od 7Z generiran s 3.
Dva su važna svojstva 7Z. Ako je broj višekratnik broja 7, takav je i njegov aditivni inverzan. Aditivni inverz od 7 je -7, aditivni inverz od 14 je -14, i tako dalje. Također, dodavanjem višekratnika od 7 drugom višekratniku od 7 dobije se višekratnik od 7. Matematičari to opisuju govoreći da su višekratnici 7 “zatvoreni” operacijom zbrajanja.
Ove dvije karakteristike su razlog zašto se 7Z naziva podgrupom cijelih brojeva pod zbrajanjem. Samo podskupine imaju kosetove. Skup svih kubnih brojeva, {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …}, nema koset na isti način kao 7Z jer nije zatvoren pod zbrajanjem: 1 + 8 = 9, a 9 nije kubni broj. Slično, skup svih pozitivnih parnih brojeva, {2, 4, 6, …}, nema kosetove jer ne sadrži inverze.
Razlog za ove odredbe je da svaki broj treba biti u točno jednom razredu. U slučaju {2, 4, 6, …}, 6 je u razredbenom razredu generiranom s 4 i u razdjelu generiranom s 2, ali ta dva razrednika nisu identična. Ova dva kriterija dovoljna su da osiguraju da se svaki element nalazi u točno jednom razredu.
Cosets postoje u bilo kojoj skupini, a neke grupe su daleko kompliciranije od cijelih brojeva. Korisna grupa koju bi netko mogao razmotriti je skup svih načina za pomicanje kvadrata bez promjene regije koju pokriva. Ako se kvadrat zakrene za 90 stupnjeva, nema vidljive promjene oblika. Slično, može se okretati okomito, vodoravno ili preko bilo koje dijagonale bez promjene područja koje kvadrat pokriva. Matematičari ovu grupu nazivaju D4.
D4 ima osam elemenata. Dva elementa smatraju se identičnima ako ostave sve kutove na istom mjestu, pa se rotiranje kvadrata četiri puta u smjeru kazaljke na satu smatra istim kao da ne radite ništa. Imajući to na umu, osam elemenata može se označiti e, r, r2, r3, v, h, dd i dd. “e” se odnosi na nečinjenje, a “r2” označava obavljanje dvije rotacije. Svaki od posljednja četiri elementa odnosi se na okretanje kvadrata: okomito, vodoravno ili duž njegovih dijagonala koje su nagnute prema gore ili prema dolje.
Cijeli brojevi su Abelova grupa, što znači da njezina operacija zadovoljava komutativni zakon: 3 + 2 = 2 + 3. D4 nije Abelov. Rotiranje kvadrata i zatim vodoravno okretanje ne pomiče kutove na isti način kao što ga okrećete i zatim rotirate.
Kada rade u nekomutativnim skupinama, matematičari obično koriste * za opisivanje operacije. Malo rada pokazuje da je okretanje kvadrata i zatim okretanje vodoravno, r * h, isto kao i okretanje po dijagonali prema dolje. Dakle, r * h = dd. Okretanje kvadrata i njegovo okretanje jednako je okretanju po dijagonali prema gore, pa je r * h = du.
Redoslijed je bitan u D4, stoga treba biti precizniji kada opisujemo kosetove. Kada se radi u cijelim brojevima, fraza “koset od 7Z generiran od 3” je nedvosmislen jer nije važno je li 3 dodano s lijeve ili desne strane svakog višekratnika od 7. Za podskupinu D4, međutim, različiti će redovi stvoriti različite cosets. Na temelju prethodno opisanih izračuna, r*H, lijevi uzlazni red od H koji generira r—jednako je {r, dd}, ali je H*r jednako (r, du}. Zahtjev da nijedan element ne bude u dva različita razrednika ne vrijedi kada se uspoređuju desni i lijevi koseti.
Desni kosetovi H ne odgovaraju njegovim lijevim kosetima. Ne dijele sve podskupine D4 ovo svojstvo. Može se uzeti u obzir podskupina R svih rotacija kvadrata, R={e, r, r2, r3}.
Malo izračunavanje pokazuje da su njegovi lijevi koseti isti kao i desni. Takva podskupina naziva se normalna podskupina. Normalne podskupine iznimno su važne u apstraktnoj algebri jer uvijek kodiraju dodatne informacije. Na primjer, dva moguća koseta od R jednaka su dvjema mogućim situacijama “kvadrat je preokrenut” i “kvadrat nije preokrenut”.