Matrice su matematički objekti koji transformiraju oblike. Determinanta kvadratne matrice A, označena |A|, je broj koji sažima učinak A na veličinu i orijentaciju figure. Ako je [ab] vektor gornjeg retka za A, a [cd] njegov donji vektor retka, tada |A| = ad-bc.
Determinanta kodira korisne informacije o tome kako matrica transformira regije. Apsolutna vrijednost determinante označava faktor skale matrice, koliko rasteže ili skuplja figuru. Njegov znak opisuje hoće li matrica preokrenuti figure, dajući zrcalnu sliku. Matrice također mogu iskriviti regije i rotirati ih, ali tu informaciju ne daje determinanta.
Aritmetički, transformacijsko djelovanje matrice određuje se množenjem matrice. Ako je A matrica 2 × 2 s gornjim redom [ab] i donjim redom [cd], tada je [1 0] * A = [ab] i [0 1] * A = [cd]. To znači da A vodi točku (1,0) do točke (a,b), a točku (0,1) do točke (c,d). Sve matrice ostavljaju ishodište nepomično, pa se vidi da A transformira trokut sa krajnjim točkama na (0,0), (0,1) i (1,0) u drugi trokut sa krajnjim točkama na (0,0), (a ,b), i (c,d). Omjer površine ovog novog trokuta i površine izvornog trokuta jednak je |ad-bc|, apsolutnoj vrijednosti |A|.
Predznak determinante matrice opisuje hoće li matrica preokrenuti oblik. Uzimajući u obzir trokut s krajnjim točkama na (0,0), (0,1) i (1,0), ako matrica A drži točku (0,1) nepokretnom dok točku (1,0) vodi do točke (-1,0), onda je preokrenuo trokut preko pravca x = 0. Budući da je A okrenuo lik, |A| bit će negativan. Matrica ne mijenja veličinu regije, pa |A| mora biti -1 da bi bilo u skladu s pravilom da apsolutna vrijednost |A| opisuje koliko A rasteže lik.
Matrična aritmetika slijedi asocijativni zakon, što znači da je (v*A)*B = v*(A*B). Geometrijski, to znači da je kombinirano djelovanje prve transformacije oblika s matricom A, a zatim transformacije oblika s matricom B, ekvivalentno transformaciji izvornog oblika s proizvodom (A*B). Iz ovog se zapažanja može zaključiti da je |A|*|B| = |A*B|.
Jednadžba |A| * |B| = |A*B| ima važnu posljedicu kada |A| = 0. U tom slučaju radnju A ne može poništiti neka druga matrica B. To se može zaključiti primjećujući da ako su A i B inverzni, tada (A*B) niti rasteže niti preokreće nijednu regiju, pa |A* B| = 1. Budući da je |A| * |B| = |A*B|, ovo posljednje opažanje vodi do nemoguće jednadžbe 0 * |B| = 1.
Može se prikazati i obrnuta tvrdnja: ako je A kvadratna matrica s determinantom različitom od nule, tada A ima inverznu. Geometrijski, ovo je djelovanje bilo koje matrice koja ne izravnava regiju. Na primjer, zgnječenje kvadrata u linijski segment može se poništiti nekom drugom matricom koja se naziva njezina inverzna. Takav inverz je matrični analog recipročne vrijednosti.