Švicarski matematičar Leonhard Euler iz 18. stoljeća razvio je dvije jednadžbe koje su postale poznate kao Eulerova formula. Jedna od ovih jednadžbi povezuje broj vrhova, lica i bridova na poliedru. Druga formula povezuje pet najčešćih matematičkih konstanti jedna s drugom. Ove dvije jednadžbe zauzele su drugo i prvo mjesto kao najelegantniji matematički rezultati prema “Matematičkom inteligenciju”.
Eulerova formula za poliedre ponekad se naziva i Euler-Descartesov teorem. Kaže da je broj lica, plus broj vrhova, minus broj bridova na poliedru uvijek jednak dva. Zapisuje se kao F + V – E = 2. Na primjer, kocka ima šest strana, osam vrhova i 12 bridova. Uključujući u Eulerovu formulu, 6 + 8 – 12 zapravo je jednako dva.
Postoje iznimke od ove formule, jer vrijedi samo za poliedar koji se ne siječe. Svi dobro poznati geometrijski oblici uključujući kugle, kocke, tetraedre i osmerokute su poliedri koji se ne sijeku. Presječni poliedar bi se, međutim, stvorio ako bi netko spojio dva vrha poliedra koji se ne siječe. To bi rezultiralo da poliedar ima isti broj strana i bridova, ali jedan vrh manje, pa je očito da formula više nije istinita.
S druge strane, općenitija verzija Eulerove formule može se primijeniti na poliedre koji se sami sijeku. Ova se formula često koristi u topologiji, što je proučavanje prostornih svojstava. U ovoj verziji formule, F + V – E jednak je broju koji se naziva Eulerova karakteristika, a koju često simbolizira grčko slovo chi. Na primjer, i torus u obliku krafne i Mobiusova traka imaju Eulerovu karakteristiku nula. Eulerova karakteristika također može biti manja od nule.
Druga Eulerova formula uključuje matematičke konstante e, i, Π, 1 i 0. E, koji se često naziva Eulerovim brojem i iracionalan je broj koji zaokružuje na 2.72. Imaginarni broj i definiran je kao kvadratni korijen od -1. Pi (Π), odnos između promjera i opsega kružnice, je približno 3.14, ali je, kao i e, iracionalan broj.
Ova formula je zapisana kao e(i*Π) + 1 = 0. Euler je otkrio da ako je Π zamijenjen s x u trigonometrijskom identitetu e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), rezultat je ono što sada znamo kao Eulerova formula. Osim povezivanja ovih pet temeljnih konstanti, formula također pokazuje da podizanje iracionalnog broja na stepen imaginarnog iracionalnog broja može rezultirati realnim brojem.