Kroneckerova delta funkcija, označena δi,j, binarna je funkcija koja je jednaka 1 ako su i i j jednaki i jednaka 0 u suprotnom. Iako je tehnički funkcija dviju varijabli, u praksi se koristi kao notacijska skraćenica, što omogućuje kompaktno pisanje kompliciranih matematičkih iskaza. Matematičari, fizičari i inženjeri koji se bave linearnom algebrom, tenzorskom analizom i digitalnom obradom signala koriste Kroneckerovu delta funkciju kao sredstvo da u jednoj jednadžbi prenesu ono što bi inače zauzimalo nekoliko redaka teksta.
Ova se funkcija najčešće koristi za pojednostavljenje pisanja jednadžbi koje uključuju sigma zapis, što je sama po sebi sažeta metoda upućivanja na komplicirane zbrojeve. Na primjer, ako tvrtka ima 30 zaposlenika {e1, e2 … e30}, a svaki zaposlenik radi različit broj sati {h1, h2 … h30} po različitoj satnici {r1, r2 … r30}, ukupni plaćeni novac ovim zaposlenicima za njihov rad jednako e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Matematičari to mogu sažeto napisati kao ∑i ei*hi*ri.
Kada opisuju fizičke sustave koji uključuju više dimenzija, fizičari često moraju koristiti dvostruka zbrajanja. Praktične znanstvene primjene su vrlo složene, ali konkretan primjer pokazuje kako Kroneckerova delta funkcija može pojednostaviti izraze u tim slučajevima.
U trgovačkom centru postoje tri trgovine s odjećom, od kojih svaka prodaje drugu marku. Dostupno je ukupno 20 stilova košulja: osam u trgovini 1, sedam u trgovini 2 i pet u trgovini 3. Dostupno je dvanaest stilova hlača: pet u trgovini 1, tri u trgovini 2 i četiri u trgovini 3. Može se kupiti 240 mogućih odjevnih kombinacija, jer postoji 20 opcija za košulju i 12 opcija za hlače. Svaka kombinacija daje drugačiji outfit.
Nije tako jednostavno izračunati broj načina za odabir odjeće u kojoj su košulja i hlače iz različitih trgovina. Možete odabrati košulju iz trgovine 1 i hlače iz trgovine 2 na 8*3 načina. Postoji 8*4 načina za odabir košulje iz trgovine 1 i hlača iz trgovine 3. Nastavljajući na ovaj način, nalazi se ukupan broj odjevnih predmeta koristeći artikle iz različitih trgovina 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Možemo razmotriti dostupnost košulja i hlača kao dva niza, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} i {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Tada Kroneckerova delta funkcija dopušta da se ovaj zbroj jednostavno zapiše kao ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Pojam (1- δi,j) eliminira onu odjeću koja se sastoji od košulje i hlača kupljenih u istoj trgovini jer je u tom slučaju i = j, pa je δi,j = 1 i (1- δi,j) = 0. Množenjem pojma za 0 uklanja ga iz zbroja.
Kroneckerova delta funkcija najčešće se koristi pri analizi višedimenzionalnih prostora, ali se može koristiti i pri proučavanju jednodimenzionalnih prostora, poput pravog broja. U tom se slučaju često koristi varijanta s jednim ulazom: δ(n) = 1 ako je n = 0; δ(n) = 0 inače. Da bismo vidjeli kako se Kroneckerova delta funkcija može koristiti za pojednostavljenje složenih matematičkih iskaza o stvarnim brojevima, mogli bismo razmotriti sljedeće dvije funkcije čiji su ulazni podaci pojednostavljeni razlomci:
f(a/b) = a ako je a =b+1, f(a/b) = -b ako je b=a+1 i f(a/b) = 0 u suprotnom.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Funkcije f i g su identične, ali definicija za g je kompaktnija i ne zahtijeva engleski, tako da je može razumjeti svaki matematičar na svijetu.
Kao što ilustriraju ovi primjeri, ulazi Kroneckerove delta funkcije obično su cijeli brojevi koji su povezani s nekim nizom vrijednosti. Diracova delta distribucija je kontinuirani analog Kroneckerove delta funkcije koja se koristi pri integraciji funkcija umjesto zbrajanja sekvenci.