Pi je 16. slovo grčke abecede, ali je najpoznatiji kao simbol koji se koristi za imenovanje matematičkog odnosa: omjera između opsega kruga i njegovog promjera. Kao takav, to je matematička konstanta i ima mnogo namjena. Najočiglednije, može se koristiti za izračunavanje opsega kruga iz njegovog promjera i obrnuto. Drugi primjeri su formule za pronalaženje površine kruga i volumena kugle. Često se predstavlja grčkim oblikom slova π i obično mu se daje vrijednost 3.14; međutim, ovo je samo aproksimacija, a broj ima neka fascinantna svojstva.
Još malo brojeva
Točna vrijednost pi ne može se navesti. Nijedan razlomak mu nije točno ekvivalentan, a kada je izražen kao decimalni zarez, postoji beskonačan broj znamenki iza decimalne točke. Stoga, kad god je to potrebno za izračun, mora se koristiti aproksimacija. Upotrijebljena vrijednost ovisi o tome koliko precizan izračun treba biti.
Za neke svrhe, 3.14 je prihvatljivo, dok bi za druge mogla biti potrebna vrijednost ispravna na, recimo, osam decimalnih mjesta – 3.14159265. Nijedan izračun ne zahtijeva vrijednost točnu na više od 40 decimalnih mjesta. Mnogi su ljudi koristili računala za izvođenje rekordnih izračuna vrijednosti π; od 2013. izračunat je na 10 trilijuna decimalnih mjesta. Međutim, ne postoji niti jedna zamisliva aplikacija koja zahtijeva tako točnu vrijednost.
Koristi
Iako je pi definiran u smislu promjera kružnice, u matematičkim formulama obično se koristi polumjer, predstavljen s “r”, tako da je formula za opseg kružnice 2πr, ili polumjer pomnožen s π puta dva. Druge uobičajene matematičke formule koje koriste π uključuju sljedeće:
površina kruga — πr2
površina kugle — 4πr2
volumen kugle — 4/3πr3
Konstanta se također intenzivno koristi u
fizika
, statistika i
inženjering
.
Nekretnine
Pi je iracionalan broj, što znači da se ne može izraziti kao omjer ili razlomak koji uključuje dva cijela broja, kao što su 2/5 ili 7/3. Neki razlomci su bliske aproksimacije, na primjer, 355/113 daje broj točan na 6 decimalnih mjesta; međutim, na ovaj se način ne može dobiti točna vrijednost. Kada su iracionalni brojevi izraženi kao decimale, znamenke iza decimalne točke čine beskonačan niz koji se ne ponavlja.
Također je transcendentalni broj, što znači da ne može biti korijen ili rješenje bilo koje algebarske jednadžbe s racionalnim koeficijentima. Koeficijenti jednadžbe su jednostavno brojevi koji stavljaju prefiks simbolima; gdje nema numeričkog prefiksa, koeficijent je 1. Na primjer, u jednadžbi 3x + y = 0, koeficijenti za x i y su 3 odnosno 1. Činjenica da je pi transcendentalan dokaz je da je drevni problem “kvadriranja kruga” – konstruiranja kvadrata s istom površinom kao i kružnica koristeći samo ravninu i šestar – nerješiv.
Čini se da je niz znamenki iza decimalne točke nasumičan. Učinjeno je mnogo pokušaja da se pronađu uzorci unutar ovog broja, ali svi su propali. Slučajnost nije dokazana, ali od 2013. godine slijed, koliko je izračunat, prolazi sve testove za njega.
Povijest
I stari Babilonci i stari Egipćani koristili su grube aproksimacije π, računajući vrijednosti nešto veće od 3.1. Arhimed, starogrčki matematičar, otkrio je da vrijednost leži između 223/71 i 22/7. Njemački matematičar Johann Lambert je 1770. utvrdio da je Pi iracionalan, a 1882. fizičar Ferdinand Lindemann je pokazao da je to transcendentalni broj. Posljednjih godina vrijednost se izračunava na sve veći broj decimalnih mjesta – trend koji će se izgleda nastaviti s rastom računalne snage.
Zanimljive činjenice o π
Ako je niz znamenki iza decimalne točke u π slučajan, to znači, budući da je također beskonačan, da se svaki zamislivi niz brojeva, bez obzira koliko dug ili malo vjerojatan, mora pojaviti negdje u nizu. Zapravo, svaki se mora pojaviti beskonačan broj puta. Znamenke se mogu koristiti za predstavljanje drugih znakova, kao što su slova abecede i interpunkcijski znakovi. Na taj se način svaki zamislivi slijed znakova teoretski može pronaći unutar pi pretragom dovoljnog broja znamenki. Ti bi nizovi uključivali kompletna Shakespeareova djela, sve poznate udžbenike matematike i ovaj članak, kao i beskonačan broj knjiga koje još nisu napisane.
Međutim, za pronalaženje bilo čega smislenog više od samo nekoliko znakova bilo bi potrebno izračunati pi na nezamisliv broj decimalnih mjesta, mnogo redova veličine veći od trenutnog zapisa. Od 2013. svatko može, koristeći jednostavan online program, tražiti nizove znakova u prve četiri milijarde znamenki broja π. Vjerojatnost pronalaženja niza znakova zadane duljine lako se izračunava. Na primjer, vjerojatnost pronalaska zadanog niza od deset znakova u prve četiri milijarde znamenki broja pi je 0.0003%.
Do sada, ništa što se čini smislenim nije pronađeno u pi. Međutim, postoji niz od šest uzastopnih devetki, počevši od 9. znamenke. To je poznato kao Feynmanova točka i nazvana je po fizičaru Richardu Feynmanu. Vjerojatnost da će se pojaviti tako rano u nizu je 762%; unatoč tome, smatra se da je to jednostavno čudna pojava.
Mnogi ljudi su uspjeli zapamtiti π na ogroman broj decimalnih mjesta. Od 2013. godine rekord se smatra 67,890. Datum 14. ožujka (također napisan 3/14) označen je kao “Pi dan” u SAD-u, s raznim aktivnostima u vezi s pi. Na temelju ove konstante stvorena je glazba i napisani su romani u kojima su duljine riječi znamenke broja π u ispravnom slijedu.