Prirodni logaritam je logaritam s bazom e. Škotski matematičar John Napier (1550-1617) izumio je logaritam. Iako nije sam uveo koncept prirodnog logaritma, funkcija se ponekad naziva Napierov logaritam. Prirodni logaritam koristi se u brojnim znanstvenim i inženjerskim aplikacijama.
John Napier je razvio naziv “logaritam” kao kombinaciju grčkih riječi logos i arithmos. Engleski prijevodi su “omjer” i “brojevi”. Napier je proveo 20 godina radeći na svojoj teoriji logaritama i objavio je svoj rad u knjizi Mirifici Logarithmorum canonis descriptio 1614. Engleski prijevod naslova je A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Prirodni logaritam karakteriziran je kao logaritam baze e, koji se ponekad naziva Napierova konstanta. Ovaj broj je također poznat kao Eulerov broj. Slovo “e” koristi se u čast Leonhardu Euleru (1707-1783), a prvi ga je upotrijebio sam Euler u pismu Christianu Goldbachu 1731.
Inverz prirodne eksponencijalne funkcije, definirane kao f(x) = ex, je prirodna logaritamska funkcija. Ova funkcija je zapisana kao f(x) = ln(x). Ova ista funkcija može se napisati kao f(x) = loge(x), ali standardna notacija je f(x) = ln(x).
Domena prirodnog logaritma je (0, beskonačnost), a raspon je (-beskonačnost, beskonačnost). Graf ove funkcije je konkavan, okrenut prema dolje. Sama funkcija je rastuća, kontinuirana i jednoznačna.
Prirodni logaritam od 1 jednak je 0. Uz pretpostavku da su a i b pozitivni brojevi, tada je ln(a*b) jednak ln(a) + ln(b) i ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Ako su a i b pozitivni brojevi i n je racionalan broj, onda je ln(an) = n*ln(a). Ova svojstva prirodnih logaritama karakteristična su za sve logaritamske funkcije.
Stvarna definicija prirodne logaritamske funkcije može se naći u integralu od 1/t dt. Integral je od 1 do x s x > 0. Eulerov broj, e, označava pozitivan realni broj takav da je integral od 1/t dt od 1 do e jednak 1. Eulerov broj je iracionalan broj i približno je jednak do 2.7182818285.
Derivat prirodne logaritamske funkcije s obzirom na x je 1/x. Derivat s obzirom na x inverzne logaritamske funkcije, prirodne eksponencijalne funkcije, iznenađujuće je opet prirodna eksponencijalna funkcija. Drugim riječima, prirodna eksponencijalna funkcija je vlastita derivacija.