Svaki prostor koji nije potpuno ravan naziva se zakrivljeni prostor. Površina kugle je zakrivljeni prostor, kao i površina sedla. Kugla je primjer pozitivne zakrivljenosti, što znači da ako je trokut napravljen s ravnim linijama u zakrivljenom prostoru, kutovi će zbrojiti više od normalnih 180 stupnjeva. Sedlo je primjer negativnog zakrivljenog razmaka. Gravitacija je uzrokovana zakrivljenošću prostora – masa krivulje prostora, što prisiljava predmete da se povlače zajedno.
Pitagorin teorem se često koristi za provjeru je li prostor ravan ili zakrivljen. Ova matematička formula koristi duljinu svake strane trokuta umjesto kutova. Ako duljine odgovaraju onome što teorem navodi, tada je trokut u ravnom prostoru. Ako se duljine ne podudaraju točno s teoremom, tada je trokut u zakrivljenom prostoru. Kutove je teško mjeriti na velikim udaljenostima, ali mjerenje stranica ili perimetra trokuta može lako prikazati prirodu prostora.
Euklidska geometrija proučava oblike u ravnom prostoru. Temelji se na popisu osnovnih informacija, zvanih aksiomi, i dokazuje mnoge matematičke koncepte poput Pitagorinog teorema. Aksiomi se često opovrgavaju, što znači da se pokazuje da nisu uvijek istiniti, u zakrivljenom prostoru ili neeuklidskoj geometriji. Svi trokuti imaju 180 stupnjeva u euklidskoj geometriji, što je lako opovrgnuti u zakrivljenom prostoru mjerenjem svakog kuta kutomjerom.
Zakrivljeni prostor igra važnu ulogu u modernoj astronomiji. Gravitacijom se smatra zakrivljeni prostor koji okružuje veliko tijelo koji uzrokuje da manji objekti kruže ili se sudaraju s velikim tijelom. To nije otkriveno sve dok Einstein nije objavio svoju teoriju opće relativnosti koja je prva opisala gravitaciju kao zakrivljeni prostor. Prije toga, astronomi su netočno izračunavali orbite jer je prostor tretiran kao trodimenzionalni euklidski oblik. Moderni astronomi mogu izračunati i predvidjeti mnogo više s neeuklidskim prostorom, poput crnih rupa i kretanja galaksija.
Čak je i otac fizike, Isaac Newton, koristio euklidsku geometriju. Bio je to jedini način proučavanja oblika više od 2000 godina. Zatim, u kasnom 19. stoljeću, Janos Bolyai opovrgnuo je aksiom da se paralelne linije nikada ne križaju. Einstein je uspio razumjeti neeuklidsku geometriju i kako se ona može koristiti za ispravno predviđanje bizarne orbite Merkura. Suvremeni pogled je da pravi euklidski oblici postoje samo u prostorima daleko od bilo kojeg gravitacijskog tijela.