Mnoge se jednadžbe mogu pojednostaviti proširivanjem logaritma. Izraz “proširujući logaritmi” ne odnosi se na logaritme koji se šire, već na proces u kojem se jedan matematički izraz zamjenjuje drugim prema specifičnim pravilima. Postoje tri takva pravila. Svaki od njih odgovara određenom svojstvu eksponenata jer je uzimanje logaritma funkcionalno inverzno eksponencijaciji: log3(9) = 2 jer je 32= 9.
Za odvajanje proizvoda koristi se najčešće pravilo za proširenje logaritama. Logaritam umnoška je zbroj odgovarajućih logaritama: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Ova se jednadžba izvodi iz formule ax * ay = ax+y. Može se proširiti na više faktora: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Povećanje broja na negativan stepen jednako je podizanju njegove recipročne vrijednosti na pozitivnu potenciju: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Ekvivalentno svojstvo za logaritme je da je loga(1/x) = -loga(x). Kada se ovo svojstvo kombinira s pravilom proizvoda, ono daje zakon za uzimanje logaritma omjera: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Konačno pravilo za proširenje logaritama odnosi se na logaritam broja podignutog na stepen. Koristeći pravilo proizvoda, nalazi se da je loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). Slično, loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). Općenito, loga(xn) = n*loga(x), čak i ako n nije cijeli broj.
Ova se pravila mogu kombinirati za proširenje dnevničkih izraza složenijih karaktera. Na primjer, može se primijeniti drugo pravilo na loga(x2y/z), dobivajući izraz loga(x2y) – loga(z). Tada se prvo pravilo može primijeniti na prvi član, dajući loga(x2) + loga(y) – loga(z). Konačno, primjena trećeg pravila dovodi do izraza 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Proširivanje logaritma omogućuje brzo rješavanje mnogih jednadžbi. Na primjer, netko bi mogao otvoriti štedni račun s 400 američkih dolara. Ako se na račun plaća 2 posto godišnje kamate složene mjesečno, broj mjeseci potrebnih prije nego što se vrijednost računa udvostruči može se pronaći jednadžbom 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Dijeljenje s 400 prinosa (1 + 0.02/ 12)m = 2. Uzimanjem logaritma baze 10 za obje strane generira se jednadžba log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Ova se jednadžba može pojednostaviti korištenjem pravila snage na m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Korištenje kalkulatora za pronalaženje logaritama daje m*(0.00072322) = 0.30102. Nakon rješavanja za m otkriva se da će biti potrebno 417 mjeseci da se vrijednost računa udvostruči ako se ne uplati dodatni novac.