U matematici, kompleksni konjugat je par dvokomponentnih brojeva koji se nazivaju kompleksni brojevi. Svaki od ovih kompleksnih brojeva posjeduje komponentu stvarnog broja koja se dodaje imaginarnoj komponenti. Iako je njihova vrijednost jednaka, predznak jedne od imaginarnih komponenti u paru složenih konjugiranih brojeva suprotan je predznaku druge. Unatoč tome što imaju imaginarne komponente, složeni konjugati se koriste za opisivanje fizičke stvarnosti. Upotreba složenih konjugata djeluje unatoč prisutnosti imaginarnih komponenti, jer kada se dvije komponente pomnože zajedno, rezultat je pravi broj.
Imaginarni brojevi su definirani kao svi brojevi koji kada se kvadriraju rezultiraju pravim negativnim brojem. Ovo se može preinačiti u drugim terminima radi pojednostavljenja. Imaginarni broj je svaki stvarni broj pomnožen s kvadratnim korijenom od negativne jedinice (-1) – sam po sebi nerazumljiv. U ovom obliku, složeni konjugat je par brojeva koji se mogu napisati, y=a+bi i y=a–bi, gdje je “i” kvadratni korijen od -1. Formalistički, da bi se razlikovale dvije y-vrijednosti, jedna se općenito piše s crtom iznad slova, ӯ, iako se povremeno koristi zvjezdica.
Pokazujući da množenje dva kompleksna konjugirana broja daje pravi rezultat, razmotrite primjer, y=7+2i i ӯ=7–2i. Množenjem ovo dvoje dobiva se yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Takav stvarni rezultat složenog konjugiranog množenja je važan, posebno u razmatranju sustava na atomskoj i subatomskoj razini. Često matematički izrazi za male fizičke sustave uključuju imaginarnu komponentu. Disciplina u kojoj je to posebno važno je kvantna mehanika, neklasična fizika vrlo malih.
U kvantnoj mehanici karakteristike fizičkog sustava koji se sastoji od čestice opisuje se valna jednadžba. Sve što treba naučiti o čestici u njezinu sustavu može se otkriti ovim jednadžbama. Često, valne jednadžbe sadrže imaginarnu komponentu. Množenje jednadžbe s njezinim složenim konjugatom rezultira fizički interpretabilnom “gustoćom vjerojatnosti”. Karakteristike čestice mogu se odrediti matematičkim manipuliranjem ove gustoće vjerojatnosti.
Na primjer, upotreba gustoće vjerojatnosti važna je u diskretnoj spektralnoj emisiji zračenja iz atoma. Takva primjena gustoće vjerojatnosti naziva se “Born vjerojatnost”, prema njemačkom fizičaru Maxu Bornu. Važno usko povezano statističko tumačenje da će mjerenje kvantnog sustava dati određene specifične rezultate naziva se Bornovo pravilo. Max Born je 1954. godine dobio Nobelovu nagradu za fiziku za svoj rad na ovom području. Nažalost, pokušaji da se Bornovo pravilo izvede iz drugih matematičkih izvođenja naišli su na različite rezultate.